Question

【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于， 两点，求与的面积之差的绝对值的最大值.（为坐标原点）

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】试题分析：（1）首先由离心率的概念可得，然后由长轴长可得的值，进而可得出所求的结果；（2）首先设的面积为， 的面积为，并分两类讨论：直线斜率不存在和直线斜率存在，分别联立直线与椭圆的方程并表达出，然后结合基本不等式求解其最大值即可得出所求的结果.

试题解析：（1）由题意得，又，则，所以.

又，故椭圆的方程为.

（2）设的面积为， 的面积为.

当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设， ，且， 面积相等， .

当直线斜率存在时，设直线方程为，设， ，

和椭圆方程联立得，消掉得.

显然，方程有根，且.

此时.

因为，所以上式（时等号成立）.

所以的最大值为.