Question

【题目】如图，已知椭圆C：的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为，|F1F2|=，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0，求的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由离心率为，|F1F2|＝2，列式计算a，b，即可得椭圆C的方程.

（2）将直线PA1，PA1的方程：y，y分别与椭圆方程联立，得到M、N的坐标，可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：x＝ty+1，由结合韦达定理，可得△OMN的面积S2，再利用函数单调性即可求出面积最大值．

（1）∵离心率为，，

∴，∴，，则b=1

∴椭圆C的方程的方程为：

（2）由（1）得A1（-2，0），A2（2，0），

直线PA1，PA1的方程分别为：，

由，得

∴，可得，

由，可得

∴，可得，

，

直线MN的方程为：，

可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：

由得

设，，则，

∴，

∴的面积

令，则

∵，且函数在递增，

∴当，S取得最大值.