题目内容

6.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于D,$\overrightarrow{AC}$的模为2,$\overrightarrow{BC}$的模为3,$\overrightarrow{AD}$的模为1,那么$\overrightarrow{DB}$的模为$\frac{3}{2}$.

分析 在△ACD和△BCD中,分别使用正弦定理得出$\frac{2}{sin∠ADC}$=$\frac{1}{sin∠ACD}$ 和$\frac{3}{sin∠BDC}$=$\frac{BD}{sin∠BCD}$
又∵sin∠ADC=sin∠BDC,sin∠ACD=sin∠BCD,联立以上两个比例式即得出答案.

解答 解:由题意可知AC=2,BC=3,AD=1,
∵∠ADC+∠BDC=π
∠ACD=∠BCD
∴sin∠ADC=sin∠BDC
sin∠ACD=sin∠BCD
在△ACD中,由正弦定理得:
$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{AD}{sin∠ACD}$.
在△BCD中,由正弦定理得:
$\frac{BD}{sin∠BCD}$=$\frac{BC}{sin∠BDC}$,
∴$\frac{2}{sin∠ADC}$=$\frac{1}{sin∠ACD}$  ①
$\frac{BD}{sin∠ACD}$=$\frac{3}{sin∠ADC}$   ②
由①②得BD=$\frac{3}{2}$即$\overrightarrow{DB}$的模为$\frac{3}{2}$.
故答案为:$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查了正弦定理在解三角形中的应用及三角函数的诱导公式.

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