Question

【题目】面对拥堵难题，济南治堵不舍昼夜.轨道交通1号线已于2019年元旦通车试运行，比原定工期提前8个月，其他各条地铁线路的建设也正在如火如荼的进行中，完工投入运行后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔为（单位：分钟），并且.经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为450人；当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为258人，记地铁载客量为（单位：人）.

（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量；

（2）若该线路每分钟的利润为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的利润最大.

Answer 1

【答案】（1） ,人；

（2）当发车时间间隔分钟时，该线路每分钟的利润最大，最大值为80元.

【解析】

（1）根据题意，结合题的条件，利用函数类型，利用待定系数法求得结果，将自变量代入解析式，求得对应的函数值；

（2）先求出的解析式，再求出分段函数每一段上的最大值，比较大小，求得最值.

（1）由题意知（为常数 ）

因为 ，得 ．

所以

得 （人）．

（2）由 可得

，

当 时， ，

任取 ，且，则

，

因为，所以，所以 ，

所以 在上为增函数，

最大值为；

当时， ，当时等号成立．

所以当发车时间间隔分钟时，该线路每分钟的利润最大，最大值为80元．