Question

【题目】关于函数 有以下四个命题：

①对于任意的，都有； ②函数是偶函数；

③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；

④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形．其中正确命题的序号是__________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①根据函数的对应法则，可得不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；

②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；

③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质可判断；

④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三点恰好构成等边三角形，即可判断．

①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，

∴当x为有理数时，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，

即不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①正确；

②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数，故②正确；

③由于非零有理数T，若x是有理数，则x+T是有理数；

若x是无理数，则x+T是无理数，

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，

f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确；

④取x1，x2＝0，x3，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，

∴A（，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

故答案为：①②③④．