Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD与四边形CC₁D₁D均是边长为1的正方形，∠ADD₁="120°" ，点E为A₁B₁的中点，点P，Q分别是BD，CD₁上的动点，且.
（1）当平面PQE//平面ADD₁A₁时，求的值.
（2）在（1）的条件下，求直线QE与平面DQP所成角的正弦值.

Answer 1

（1）1；（2）

本试题主要考查了立体几何中线面的平行与线面角的求解。
解：（1）由平面PQE//平面ADD₁A₁，得点P到平面ADD₁A₁的距离等于点E到平面ADD₁A₁的距离。而四边形ABCD与四边形CC₁D₁D均是边长为1的正方形，

（2）由（1）知P，Q分别是BD，CD1的中点，如图，以点D为原点，以DA、DC所在的直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），


设平面DQP的法向量为
则
，

设直线QE与平面DQP所成的角为，则