Question

如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.
（Ⅰ）证明：平面SBC⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.
 

Answer 1

见解析.

本试题主要考查了立体几何中三棱锥中关于面面垂直的判定和二面角的求解综合试题，通过线面垂直来判定面面垂直，而二面角的求解可以建立空间直角坐标系，借助于平面的法向量来完成，也可以通过三垂线定理求作二面角，借助于平面的直角三角形求解得到。
解：（Ⅰ）平面SBC⊥平面SAB.理由如下：
因为∠SAB＝∠SAC＝90°，
所以SA⊥AB，SA⊥AC，
所以SA⊥底面ABC.                           ………………………………2分
又BC在平面ABC内，所以SA⊥BC.
又AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB.                ………………………………4分
因为BC在平面SBC内，所以平面SBC⊥平面SAB. ………6分

（Ⅱ）作AD⊥SB，垂足为D.
由（Ⅰ）知平面SBC⊥平面SAB，
则有AD⊥平面SBC.                       …………8分
作AE⊥SC，垂足为E，连结DE，
则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.   ………10分
设SA＝AB＝2，则SB＝BC ＝，AD＝，
AC＝，SC＝4，可求得AE＝.

所以二面角A－SC－B的平面角的正弦值为.……13分