题目内容
【题目】已知函数,其中e是自然对数的底数
(1)若,求
的最小值;
(2)记f(x)的图象在处的切线的纵截距为
,求
的极值;
(3)若有2个零点
,求证:
.
【答案】(1)2(2)极大值1,无极小值.(3)见解析
【解析】
(1)利用基本不等式求解即可.
(2)利用导数的几何意义可得的图象在
处的切线方程,进而求得截距
,再求导分析单调性与极值即可.
(3)讨论单调性可得,再设
,再根据零点可知
,
,继而化简可得
,
.将原不等式转换为证明
,再构造函数求导分析单调性与最小值证明即可.
(1)因为,
当且仅当时等号成立,所以
的最小值为2.
(2)因为,所以
.
因为,
所以的图象在
处的切线方程为
.
令,得
,
所以,
所以当时,
,故
单调递增;
当时,
.故
单调递减.
所以当时,h(t)取到极大值,为1,无极小值.
(3)因为,
所以当时,
,故
单调递增,
所以至多有1个零点,故
.
因为,
所以,故
.
因为,所以
.
设.
因为,
,
两式相除得,
所以,
解得,
.
要证,
即证,
即证,
即证.
设,
则
故单调递增,
所以,
因此原命题得证.
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