题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数(
是自然对数的底数)恰有一个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间是,单调递减区间是
;(2)
.
【解析】
(1)先根据题意求得函数的定义域,再对函数
求导,利用导数求函数的单调区间即可;
(2)先将函数恰有一个零点等价转化为方程
在
上恰有一解,然后换元,构造函数,利用分类讨论思想进行求解,也可分离参数,构造新函数,利用导数研究新函数的图象,数形结合即可求解.
(1)由题意知,函数的定义域为
,则
,
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减,
所以函数的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)解法1、由函数恰有一个零点,等价于方程
在
上恰有一解,即方程
在
上恰有一解,
令,易知
在
上单调递增,
且当时,
,当
时,
,所以
,
所以方程在
上恰有一解,
记,则
.
①当时,
,所以函数
单调递增,
又当时,
,且
,
所以当时,方程
在
上恰有一解,满足题意.
②当时,方程
在
上恰有一解,满足题意.
③当时,由
,得
,
当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减.
又当时,
,当
时,
,
所以当,即
时,方程
在
上恰有一解.
综上所述,实数的取值范围为
.
解法2、 函数恰有一个零点,等价于方程
在
上恰有一解,即方程
在
上恰有一解.
令,易知
在
上单调递增,
且当时,
,当
时,
,所以
,
所以方程在
上恰有一解,
即方程在
上恰有一解.
令,则
,
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.
又当时,
,当
时,
,且当
时,
,
,
所以作出函数的大致图象,如图所示,
数形结合可知,或
.
故实数的取值范围为
.
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