题目内容
【题目】已知
是等差数列
的前n项和，
，
，
是数列
的前n项和，
.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设
，数列
的前n项和为
，若只存在2个正整数n满足
，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；
（2）
【解析】
（1）由等差数列
的通项公式和前n项和公式列方程可求出首项和公差，从而写出数列的通项公式；由
可得到数列
的递推关系式
，构造数列
，由等比数列的通项公式求出
.（2）利用错位相减法求出数列
的前n项和
，再判断数列
的增减性，根据题意得到结果.
解：（1）设等差数列的公差为d，
因为
，
，
所以
，
，
解得
，
.
因此数列的通项公式为.
由得
，
当
时，
，
；
当
时，
，
所以
，
所以，
，
.
所以数列是以
为首项，2为公比的等比数列，所以
，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知
，
所以
，
，
所以
，
又
，
所以
.
，
所以数列是递增的，
又
，
，
，
所以
，故实数
的取值范围为.
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