Question

【题目】设等差数列的前项和为，，若且，数列的前项和为,且满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；

（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先根据条件可得等差数列中，，,解得等差数列的首项和公差，得到数列的通项公式，代入得到，采用裂项相消法求和；（Ⅱ）第一步，先求，根据公式，这样若数列是等比数列，需满足.

试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，由，得又解得，因此数列的通项公式是，

所以，

所以

（Ⅱ）因为且可得，

当时，；…8分

当时，,此时有，

若是等比数列，则有有，而，，彼此相矛盾，

故不存在非零实数，使数列为等比数列。…12分