题目内容
【题目】已知正四面体的棱长为, 为棱的中点,过作其外接球的截面,则截面面积的最小值为__________.
【答案】
【解析】将四面体放置于正方体中,可得正方体的外接球就是四面体的外接球,∵正四面体的棱长为,∴正方体的棱长为,可得外接球半径满足,解得, 为棱的中点,过作其外接球的截面,当截面到球心的距离最大时,截面圆的面积达最小值,此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半,可得截面圆的半径为,得到截面圆的面积最小值为.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直,且,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用求解.
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