Question

11．已知n∈N，求证：（1+1）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{3n-2}$）＞$\root{3}{3n+1}$．

Answer 1

分析 根据数学归纳法，n=1时容易验证原不等式成立，然后就假设n=k时原不等式成立，从而便可得到$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k-2}）（1+\frac{1}{3k+1}）$$＞\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$，通过作差证明$\root{3}{3k+1}•（+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$即可说明n=k+1时原不等式也成立，从而得出原不等式成立．

解答 证明：1）n=1时，$1+1＞\root{3}{4}$成立，即此时原不等式成立；
2）假设n=k时原不等式成立，即：
$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3n-2}）$$＞\root{3}{3k+1}$；
∴$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k-2}）（1+\frac{1}{3k+1}）$$＞\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$；
$\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$=$\root{3}{3k+1}•\frac{3k+2}{3k+1}=\root{3}{\frac{（3k+2）^{3}}{（3k+1）^{2}}}$；
∴$\frac{（3k+2）^{3}}{（3k+1）^{2}}-（3k+4）=\frac{（3k+2）^{3}-（3k+1）^{2}（3k+4）}{（3k+1）^{2}}$=$\frac{9k+4}{（3k+1）^{2}}＞0$；
∴$\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$；
∴$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$；
即n=k+1时原不等式成立；
综上得（1+1）$（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3n-2}）＞\root{3}{3n+1}$成立．

点评 考查数学归纳法证明题目的步骤，知道数学归纳法是用于证明关于正整数n的命题的一种方法，不等式的性质，作差比较两个式子的大小．