Question

3．已知命题：
①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍；
②在△ABC中，若A＞B，则sinA＜sinB；
③在正三棱锥S-ABC内任取一点P，使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率是$\frac{7}{8}$；
④若对于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．
以上命题中正确的是③④（填写所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①利用方差的性质可得：方差变为原来的4倍，即可判断出正误；
②在△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得sinA＞sinB，即可判断出正误；
③如图所示，O是正△ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC的中点D，E，F，则在△DEF及其内部任取一点P，则V_P-ABC=$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$，因此使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率P=$1-\frac{{V}_{S-DEF}}{{V}_{S-ABC}}$，即可判断出正误；
④若对于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，则$a≥-\frac{{n}^{2}-4n+3}{n+1}$=-$（n+1+\frac{8}{n+1}-6）$，令f（x）=$x+\frac{8}{x}$（x≥2），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差变为原来的4倍，因此①不正确；
②在△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴sinA＞sinB，因此②不正确；
③如图所示，O是正△ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC的中点D，E，F，则在△DEF及其内部任取一点P，则V_P-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×$\frac{1}{2}SO$=$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$，因此使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率P=$1-\frac{{V}_{S-DEF}}{{V}_{S-ABC}}$=$\frac{7}{8}$，即③正确；
④若对于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，则$a≥-\frac{{n}^{2}-4n+3}{n+1}$=-$（n+1+\frac{8}{n+1}-6）$，
令f（x）=$x+\frac{8}{x}$（x≥2），f′（x）=1-$\frac{8}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-8}{{x}^{2}}$，当x≥3时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）≥f（3）=$3+\frac{8}{3}$=$5+\frac{2}{3}$，f（4）=6，当x=2时，f（2）=6，
∴a≥-（$5+\frac{2}{3}$-6）=$\frac{1}{3}$，∴实数a的取值范围是$[\frac{1}{3}，+∞）$，因此④正确．
以上命题中正确的是 ③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、方差的性质、正弦定理、三棱锥的体积、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．