Question

19．定义：曲线C上的点到点P的距离的最小值称为曲线C到点P的距离．已知曲线C：y=$\frac{1}{x}$（x＞0）到点P（a，a）的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则实数a的值为-$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{26}}{2}$．

Answer 1

分析 分P在曲线C外部和内部两种情况求解，当P在曲线外部时，直接由两点间的距离求解，当P在曲线内部时，写出以P（a，a）为圆心，以$\frac{3\sqrt{2}}{2}$为半径的圆的方程，再设圆与曲线的公共弦方程为y=-x+b，联立直线与曲线、直线与圆，求得交点坐标，由坐标相等求得a的值．

解答 解：当P在曲线C外部时，P到曲线的最小值为P到（1，1）的距离，
等于$\sqrt{2（a-1）^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$或a=$\frac{5}{2}$（舍）；
当P在曲线C内部时，以P（a，a）为圆心，以$\frac{3\sqrt{2}}{2}$为半径的圆为$（x-a）^{2}+（y-a）^{2}=\frac{9}{2}$．
设曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）与圆$（x-a）^{2}+（y-a）^{2}=\frac{9}{2}$的公共弦所在直线方程为y=-x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，得x²-bx+1=0，解得${x}_{1}=\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4}}{2}$（靠近y轴交点横坐标）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{（x-a）^{2}+（y-a）^{2}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，得4x²-4bx+4a²+2b²-4ab-9=0．
解得：${x}_{2}=\frac{b-\sqrt{4ab+9-4{a}^{2}-{b}^{2}}}{2}$（靠近y轴交点横坐标）．
由x₁=x₂，得$\sqrt{{b}^{2}-4}=\sqrt{4ab+9-4{a}^{2}-{b}^{2}}$，即b²-4=4ab+9-4a²-b²，
∴4a²-4ab+2b²=13．
设直线y=-x+b交x轴于A，交y轴于B，由对称性及四边形内角和为360°可知a=b，
∴4a²-4a²+2a²=13，解得$a=-\frac{\sqrt{26}}{2}$（舍）或$a=\frac{\sqrt{26}}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{26}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查了圆与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的理解能力和运算能力，是中档题．