题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,长轴长为4,过椭圆的左顶点
作直线
,分别交椭圆和圆
于相异两点
(1) 若直线的斜率为1,求
的值:
(2) 若,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)由题意得,求得椭圆方程为及圆的方程为
,把直线的方程与椭圆的方程联立,求解
,利用弦长公式求解
,又因为
过
,且
为圆
上的点,所以
,求得
,即可得到结论.
(2) 由,即
,可得
,设
,联立方程组,求得
和
,代入即可求解实数
的取值范围.
详解:由题意得
,
,则
;
则椭圆的方程为 ,圆的方程为
;
(1)直线的方程为
,
,得
解得,
,
又因为过
,且
为圆
上的点,所以
,则
;
所以
(2) 若
,因为
,所以
;
因为,
为相异两点,所以直线
的斜率存在且不等于零;则设
:
,
由,得
;所以
;同理可得
;
;因为
,且
,所以
.
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