Question

【题目】如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．

（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）求二面角B﹣AD﹣E的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC= ，

由AC= ，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，

所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；

（2）解：作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，

由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．

在Rt△ACD中，由DC=2，AC= ，得AD= ；

在Rt△AED中，由ED=1，AD= 得AE= ；

在Rt△ABD中，由BD= ，AB=2，AD= 得BF= ，AF= AD，从而GF= ，

在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE= ，BG= ．

在△BFG中，cos∠BFG= = ，

所以，∠BFG= ，二面角B﹣AD﹣E的大小为 ．

【解析】（1）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（2）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（1）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF= ，AF= AD，从而GF= ，cos∠BFG= = ，从而可求得答案．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．