题目内容
【题目】已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an , n∈N* , a1=1.
(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;
(2)设{an}是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…an , 若 Sn≤Sn+1≤3Sn , n∈N* , 求q的取值范围.
(3)若a1 , a2 , …ak成等差数列,且a1+a2+…ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1 , a2 , …ak的公差.
【答案】
(1)解:依题意: ,
∴ ;又
∴3≤x≤27,
综上可得:3≤x≤6
(2)解:由已知得, ,
,
∴ ,
当q=1时,Sn=n, Sn≤Sn+1≤3Sn,即
,成立.
当1<q≤3时, ,
Sn≤Sn+1≤3Sn,即
,
∴
不等式
∵q>1,故3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2>2qn﹣2>0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0,令n=1,
得q2﹣3q+2≤0,
解得1≤q≤2,又当1≤q≤2,q﹣3<0,
∴qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≤q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)≤0成立,
∴1<q≤2,
当 时,
,
Sn≤Sn+1≤3Sn,即
,
∴此不等式即 ,
3q﹣1>0,q﹣3<0,
3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2<2qn﹣2<0,
qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≥q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)>0
∴ 时,不等式恒成立,
上,q的取值范围为:
(3)解:设a1,a2,…ak的公差为d.由 ,且a1=1,
得
即
当n=1时,﹣ ≤d≤2;
当n=2,3,…,k﹣1时,由 ,得d≥
,
所以d≥
,
所以1000=k ,即k2﹣2000k+1000≤0,
得k≤1999
所以k的最大值为1999,k=1999时,a1,a2,…ak的公差为﹣
【解析】(1)依题意: ,又
将已知代入求出x的范围;(2)先求出通项:
,由
求出
,对q分类讨论求出Sn分别代入不等式
Sn≤Sn+1≤3Sn , 得到关于q的不等式组,解不等式组求出q的范围.(3)依题意得到关于k的不等式,得出k的最大值,并得出k取最大值时a1 , a2 , …ak的公差.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对等比数列的基本性质的理解,了解{an}为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列.
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