题目内容
【题目】已知椭圆C：
的离心率为
，且过点P（3，2）．
（1）求椭圆C`的标准方程；
（2）设与直线OP（O为坐标原点）平行的直线
交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与
轴围成一个等腰三角形．
【答案】(1)
;(2)见解析.
【解析】分析：（1）由题意可得a2=18，b=3．则椭圆C的标准方程为：.
（2）设直线l的方程为2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，结合韦达定理计算可得kAP+kBP=0，则kAP=﹣kBP，即直线PA，PB与
轴围成一个等腰三角形．
详解：（1）由题意可得：
，
=1，a2=b2+c2，联立解得：a2=18，b=3．
∴椭圆C的标准方程为：
．
（2）设直线l的方程为2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程代入椭圆方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，
△＞00＜|t|＜12，
∴
，
，
∵kAP+kBP=
+
=
，
∴分子=
（x2﹣3）+
=
+
（x1+x2）﹣2t+12=
+
﹣2t+12=0，
∴kAP+kBP=0，∴kAP=﹣kBP，∴直线PA、PB与x轴所成的锐角相等，故围成等腰三角形．
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