题目内容
【题目】（本小题满分16分）已知数列
（
， 
）满足
， 
其中
， 
．
（1）当
时，求
关于
的表达式，并求
的取值范围；
（2）设集合
．
①若
， 
，求证： 
；
②是否存在实数
， 
，使
， 
， 
都属于
？若存在，请求出实数
， 
；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
， 
（2）①详见解析，②不存在
【解析】试题分析：（1）数列
递推关系式是一个分段函数，可通过分段点进行连接： 
， 
， 
，根据对勾函数得
，或
，从而有
（2）①当
时，数列
是一个等差数列，易得
，从而
，令
，得
．问题转化为证明
有满足条件
解，易求得
②
∴
，问题转化为是否存在三个不同的整数
（
），使得
消去a,d得
，由于
，所以无解
试题解析：（1）当
时，
， 
， 
． 2分
因为
， 
，或
，
所以
． 4分
（2）①由题意
， 
， 
． 6分
令
，得
．
因为
， 
，
所以令
，则
． 8分
②不存在实数
， 
，使
， 
， 
同时属于
． 9分
假设存在实数
， 
，使
， 
， 
同时属于
．
，∴
，
从而
． 11分
因为
， 
， 
同时属于
，所以存在三个不同的整数
（
），
使得
从而
则
． 13分
因为
与
互质，且
与
为整数，
所以
，但
，矛盾．
所以不存在实数
， 
，使
， 
， 
都属于
． 16分
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