Question

【题目】已知数列an}的前n项和为Sn ， a1=1，a2=2，且点（Sn ， Sn+1）在直线y=tx+1上．
（1）求Sn及an；
（2）若数列{bn}满足bn= （n≥2），b1=1，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：当n≥2时，Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，得Sn+1=tSn+1，令n=1有，S2=tS1+1，

∴a1+a2=ta1+1．代入a1=1，a2=2有t=2．

∴Sn+1=2Sn+1，则Sn=2Sn﹣1+1（n≥2）．

两式相减有，an+1=2an，即 ，且 符合．

∴{an}为公比为2的等比数列．

则 ，

（2）证明：bn= = ＜ ．

∴当n≥2时，

Tn=b1+b2+…+bn =

【解析】（1）把点（Sn ， Sn+1）代入直线y=tx+1，结合a1=1，a2=2求得t，可得数列递推式，进一步可得{an}为公比为2的等比数列．再由等比数列的通项公式和前n项和公式求得Sn及an；（2）把an代入bn= ，放缩可得 （n≥2），代入Tn=b1+b2+…+bn ， 由等比数列的前n项和证得当n≥2时，Tn＜2．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．