Question

【题目】已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值为3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若对于x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|≤|x﹣a﹣x﹣b|=|a+b|=3，
∵a＞0，b＞0，∴a+b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，0＜a＜3，0＜b＜3，
∴x≥a，x﹣a≥0，x+b＞0，
此时，f（x）=x﹣a﹣x﹣b=﹣3，
若对于x≥a均有g（x）＜f（x），
即x2+ax+b﹣3＞0在[a，+∞）恒成立，
即x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，
对称轴x=﹣ ＜0，
故只需a2+a2﹣a＞0即可，
解得：a＞ ，
故 ＜a＜3．
【解析】（Ⅰ）根据绝对值的性质求出f（x）的最大值是a+b，从而求出a+b的值即可；（Ⅱ）根据a，b的范围，问题转化为x2+ax﹣a＞0在[a，+∞）恒成立，结合函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．