题目内容
【题目】已知为圆
上的动点,
的坐标为
,
在线段
上,满足
.
(Ⅰ)求的轨迹
的方程.
(Ⅱ)过点的直线
与
交于
两点,且
,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
或
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设点的坐标为
,点
的坐标为
,由题意结合向量关系可得
,据此整理计算可得
,则
,故点
的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)由题意可得,MN为圆的弦长,结合弦长公式可得原点到直线
的距离
.分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线
的方程为
或
.
试题解析:
(Ⅰ)设点的坐标为
,点
的坐标为
,
依题意得,即
,
所以,解得
,
又,所以
,即
又,所以点
的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)因为直线与曲线
交于
两点,且
,
所以原点到直线
的距离
.
若斜率不存在,直线
的方程为
,此时符合题意;
若斜率存在,设直线
的方程为
,即
,
则原点到直线
的距离
,解得
,
此时直线的方程为
所以直线的方程为
或
.
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