题目内容
【题目】已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1﹣1=an2（n∈N）．记Sn=a1+a2+…+an ． Tn= 
+ 
+…+ 
．求证：当n∈N*时
（1）0≤an＜an+1＜1；
（2）Sn＞n﹣2；
（3）Tn＜3．
【答案】
（1）证明：因为an+12+an+1﹣1=an2，（1）所以an2+an﹣1=an﹣12，（2）
，
所以an+1﹣an与an﹣an﹣1同号，即与a2﹣a1一致．
因为 
，且a2﹣a1＞0，
∴an+1﹣an＞0，
∵ 
，
∴ 
，
即an+1＜1
综上所述：0≤an＜an+1＜1对任何n∈N*都成立．
（2）证明：由 
，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），
得 
．
因为a1=0，所以 
．
∵an＜1，
所以Sn＞n﹣2．
（3）证明：由 
，得 
所以 
，
于是 
，
故当n≥3时， 
，
又因为T1＜T2＜T3，
所以Tn＜3．
【解析】（1）先证明an+1﹣an＞0，再证明an+1＜1．（2）由ak+12+ak+1﹣1=ak2 ， 对k取1，2，…，n﹣1时的式子相加得Sn ， 最后对Sn进行放缩即可证得．（3）利用放缩法由 ，得 ，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
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