题目内容
【题目】如图所示，直三棱柱
中， 
， 
， 
，点
， 
分别是
的中点.
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) 
.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)连接
， 
,由中位线的性质可得： 
，利用线面平行的判断定理即可证得
平面
.
(Ⅱ)结合直三棱柱的性质，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系.设
，则
， 
， 
，据此可得平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，则
，求解方程可得
，利用线面角的向量求法可得
.
试题解析：
（Ⅰ）连接
， 
,则
且
为
的中点，
又
为
的中点， 
，
又
平面
， 
平面
，故
平面
.
（Ⅱ）因为
是直三棱柱，所以
平面
，得
.因为
， 
，
，故
.以
为原点，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，则
， 
， 
，
， 
， 
.
取平面
的一个法向量为
，
由
得
：令
，得
，
同理可得平面
的一个法向量为
，
二面角
的大小为
， 
，
解得
，得
，又
，
设直线
与平面
所成角为
，则
.
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