题目内容
【题目】如图所示,直三棱柱中,
,
,
,点
,
分别是
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)若二面角的大小为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连接,
,由中位线的性质可得:
,利用线面平行的判断定理即可证得
平面
.
(Ⅱ)结合直三棱柱的性质,分别以,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.设
,则
,
,
,据此可得平面
的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
,则
,求解方程可得
,利用线面角的向量求法可得
.
试题解析:
(Ⅰ)连接,
,则
且
为
的中点,
又
为
的中点,
,
又平面
,
平面
,故
平面
.
(Ⅱ)因为是直三棱柱,所以
平面
,得
.因为
,
,
,故
.以
为原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则
,
,
,
,
,
.
取平面的一个法向量为
,
由得
:令
,得
,
同理可得平面的一个法向量为
,
二面角
的大小为
,
,
解得,得
,又
,
设直线与平面
所成角为
,则
.
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