Question

4．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{8}$-y²=1过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点，且它们的离心率互为倒数．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂点M（1，0）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A₁P与A₂Q的斜率别为k₁，k₂试问，是否存在实数m，使得k₁+mk₂=0？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，代入椭圆的焦点，可得c，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在实数m，使得k₁+mk₂=0．讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到m的值，进而判断存在．

解答 解：（Ⅰ）双曲线$\frac{{x}^{2}}{8}$-y²=1的离心率为$\frac{\sqrt{8+1}}{\sqrt{8}}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，
它们的离心率互为倒数，可得椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由题意可得c²=8，即c=2$\sqrt{2}$，则a=3，b=1，
则有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（Ⅱ）假设存在实数m，使得k₁+mk₂=0．
当直线l的斜率不存在时，P（1，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），Q（1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），A₁（-3，0），A₂（3，0），
则k₁=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1+3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，k₂=$\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1-3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，则m=-$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$；
当直线l的斜率存在时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程可得，
（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}$，
则m=-$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+3}}{\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-3}}$=-$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-3）}{k（{x}_{1}+3）（{x}_{2}-1）}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{2}+3}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{x}_{2}-3}$
=-$\frac{9{k}^{2}-9-3•18{k}^{2}+2（1+9{k}^{2}）{x}_{2}+3（1+9{k}^{2}）}{9{k}^{2}-9-18{k}^{2}+4（1+9{k}^{2}）{x}_{2}-3（1+9{k}^{2}）}$
=-$\frac{2（1+9{k}^{2}）{x}_{2}-18{k}^{2}-6}{4（1+9{k}^{2}）{x}_{2}-36{k}^{2}-12}$=-$\frac{1}{2}$，
故存在m=-$\frac{1}{2}$，满足题意．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式和化简整理的运算求解能力，属于中档题．