Question

16．如图，O为坐标原点，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁F₂，离心率为e₁；双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为₃F₄，离心率为e₂，已知e₁e₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且|F₂F₄|=$\sqrt{3}$-1．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）过F₁作C₁的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C₂交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式，结合两点间的距离，可得a，b，进而得到椭圆和双曲线的方程；
（2）可设直线AB的方程为x=my-1．联立椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（m²+2）y²-2my-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理和中点坐标公式，设出PQ的方程，联立双曲线方程，求得P，Q的坐标和PQ的长，再由四边形APBQ面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|•2d，化简整理，即可得到最小值．

解答 解：（1）因为e₁e₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$•$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a⁴-b⁴=$\frac{3}{4}$a⁴，
因此a²=2b²，即a=$\sqrt{2}$b，
从而F₂（b，0），F₄（$\sqrt{3}$b，0），
于是$\sqrt{3}$b-b=|F₂F₄|=$\sqrt{3}$-1，所以b=1，a=$\sqrt{2}$，
故椭圆C₁方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，双曲线C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1．
（2）因为直线AB不垂直于y轴且过点F₁（-1，0），
故可设直线AB的方程为x=my-1．
由联立椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（m²+2）y²-2my-1=0，
易知此方程的判别式大于0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁，y₂是上述方程的两个实根，所以y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$，
因此x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2=$\frac{-4}{2+{m}^{2}}$，AB的中点为M（$\frac{-2}{2+{m}^{2}}$，$\frac{m}{2+{m}^{2}}$），
故直线PQ的斜率为-$\frac{m}{2}$，PQ的方程为y=-$\frac{m}{2}$x，即mx+2y=0．
由联立双曲线方程，得（2-m²）x²=4，所以2-m²＞0，x²=$\frac{4}{2-{m}^{2}}$，y²=$\frac{{m}^{2}}{2-{m}^{2}}$，
从而|PQ|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4}{2-{m}^{2}}}$，
设点A到直线PQ的距离为d，则B点到直线PQ的距离也为d，
所以2d=$\frac{|m{x}_{1}+2{y}_{1}|+|m{x}_{2}+2{y}_{2}|}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
因为点A，B在直线mx+2y=0的异侧，所以（mx₁+2y₁）（mx₂+2y₂）＜0，
于是|mx₁+2y₁|+|mx₂+2y₂|=|mx₁+2y₁-mx₂-2y₂|，
从而2d=$\frac{（{m}^{2}+2）|{y}_{1}-{y}_{2}|}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
又因为|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$，
所以2d=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
四边形APBQ面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|•2d=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{2-{m}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{-1+\frac{3}{2-{m}^{2}}}$
而0＜2-m²＜2，故当m=0时，S取得最小值2．
四边形APBQ面积的最小值为2．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率的公式和方程的运用，同时考查直线和椭圆方程、双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．