题目内容

4．已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为6，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1．

分析 由题意可得c=3，再由椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．

解答 解：设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c，
由题意可得2c=6，解得c=3，
∴由椭圆的定义可得4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16，
∴a=4，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$，
∴椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1．

点评 本题考查椭圆的定义和性质，注意运用椭圆的定义法是解题的关键，属于基础题．

练习册系列答案
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（Ⅰ）求椭圆C标准方程；
（Ⅱ）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上的两点，向量$\overrightarrow m=（{x_1}，\sqrt{3}{y_1}），\overrightarrow n=（{x_2}，\sqrt{3}{y_2}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$．设B（x0，y0），且$\overrightarrow{OB}=cosθ•\overrightarrow{OP}+sinθ•\overrightarrow{OQ}$（θ∈R），求x02+3y02的值；
（Ⅲ）如图所示，直线MN经过椭圆C右焦点F．当M、N两点在椭圆C运动时，试判断$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$×tan∠MAN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由．
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15．某射手平时射击成绩统计如表：
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（1）求a和b的值；
（2）求命中10环或9环的概率；
（3）求命中环数不足9环的概率．
9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，椭圆短轴长为$\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
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16．如图，O为坐标原点，椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1F2，离心率为e1；双曲线C2：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为3F4，离心率为e2，已知e1e2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且|F2F4|=$\sqrt{3}$-1．
（1）求C1，C2的方程；
（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
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A．$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$B．$\frac{1}{|a|}$＞$\frac{1}{|b|}$C．ac2＜bc2D．（a+$\frac{1}{b}$）2＞（b+$\frac{1}{a}$）2
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