题目内容

4.已知椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,焦距为6,过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1.

分析 由题意可得c=3,再由椭圆的定义与性质,求出a、b的值,即可写出椭圆的方程.

解答 解:设椭圆的长轴是2a,短轴是2b,焦距是2c,
由题意可得2c=6,解得c=3,
∴由椭圆的定义可得4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16,
∴a=4,
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$,
∴椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1.
故答案为:$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1.

点评 本题考查椭圆的定义和性质,注意运用椭圆的定义法是解题的关键,属于基础题.

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