题目内容
8.已知实数x,y,z满足3x+2y+z=1,求x2+2y2+3z2的最小值.分析 用条件3x+2y+z=1,构造柯西不等式$[{{{(x)}^2}+{{(\sqrt{2}y)}^2}+{{(\sqrt{3}z)}^2}}]•[{{3^2}+{{(\sqrt{2})}^2}+{{(\frac{1}{{\sqrt{3}}})}^2}}]≥{(3x+2y+z)^2}=1$进行解题即可
解答 解:由柯西不等式,$[{{{(x)}^2}+{{(\sqrt{2}y)}^2}+{{(\sqrt{3}z)}^2}}]•[{{3^2}+{{(\sqrt{2})}^2}+{{(\frac{1}{{\sqrt{3}}})}^2}}]≥{(3x+2y+z)^2}=1$,…(4分)
所以${x^2}+2{y^2}+3{z^2}≥\frac{3}{34}$,
当且仅当$\frac{x}{3}=\frac{{\sqrt{2}y}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}z}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}}$,即$x=\frac{9}{34},y=\frac{3}{34},z=\frac{1}{34}$时,等号成立,
所以x2+2y2+3z2的最小值为$\frac{3}{34}$. …(10分)
点评 本题主要考查了函数的最值,以及柯西不等式的应用,解题的关键是利用$[{{{(x)}^2}+{{(\sqrt{2}y)}^2}+{{(\sqrt{3}z)}^2}}]•[{{3^2}+{{(\sqrt{2})}^2}+{{(\frac{1}{{\sqrt{3}}})}^2}}]≥{(3x+2y+z)^2}=1$进行解决.

练习册系列答案
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14.已知非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足($\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$)•$\overrightarrow{BC}$=0,且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{4}$,则△ABC为( )
A. | 三边均不相等的三角形 | B. | 直角三角形 | ||
C. | 等腰非等边三角形 | D. | 等边三角形 |
15.某射手平时射击成绩统计如表:
已知他射中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值;
(2)求命中10环或9环的概率;
(3)求命中环数不足9环的概率.
环数 | 7环以下 | 7 | 8 | 9 | 10 |
概率 | 0.13 | a | b | 0.25 | 0.24 |
(1)求a和b的值;
(2)求命中10环或9环的概率;
(3)求命中环数不足9环的概率.
3.若椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为$\frac{1}{2}$,则此椭圆的方程为( )
A. | $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1 | B. | $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1 | C. | $\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1 | D. | $\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1 |
13.若a<b<0,则下列结论一定正确的是( )
A. | $\frac{a+b}{2}$>$\sqrt{ab}$ | B. | $\frac{1}{|a|}$>$\frac{1}{|b|}$ | C. | ac2<bc2 | D. | (a+$\frac{1}{b}$)2>(b+$\frac{1}{a}$)2 |
20.已知f(x)=$\frac{lnx}{x}$,则( )
A. | x=e是f(x)的极大值点 | B. | x=e时f(x)的极小值点 | ||
C. | x=1是f(x)的极大值点 | D. | x=1是f(x)的极小值点 |
18.
如图所示,在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$,0),点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则向量$\overrightarrow{AD}$的坐标为( )

A. | (-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$) | B. | (-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,-1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$) | C. | (-$\frac{1}{2}$,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$) | D. | ($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$) |