题目内容

8.已知实数x,y,z满足3x+2y+z=1,求x2+2y2+3z2的最小值.

分析 用条件3x+2y+z=1,构造柯西不等式$[{{{(x)}^2}+{{(\sqrt{2}y)}^2}+{{(\sqrt{3}z)}^2}}]•[{{3^2}+{{(\sqrt{2})}^2}+{{(\frac{1}{{\sqrt{3}}})}^2}}]≥{(3x+2y+z)^2}=1$进行解题即可

解答 解:由柯西不等式,$[{{{(x)}^2}+{{(\sqrt{2}y)}^2}+{{(\sqrt{3}z)}^2}}]•[{{3^2}+{{(\sqrt{2})}^2}+{{(\frac{1}{{\sqrt{3}}})}^2}}]≥{(3x+2y+z)^2}=1$,…(4分)
所以${x^2}+2{y^2}+3{z^2}≥\frac{3}{34}$,
当且仅当$\frac{x}{3}=\frac{{\sqrt{2}y}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}z}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}}$,即$x=\frac{9}{34},y=\frac{3}{34},z=\frac{1}{34}$时,等号成立,
所以x2+2y2+3z2的最小值为$\frac{3}{34}$.                           …(10分)

点评 本题主要考查了函数的最值,以及柯西不等式的应用,解题的关键是利用$[{{{(x)}^2}+{{(\sqrt{2}y)}^2}+{{(\sqrt{3}z)}^2}}]•[{{3^2}+{{(\sqrt{2})}^2}+{{(\frac{1}{{\sqrt{3}}})}^2}}]≥{(3x+2y+z)^2}=1$进行解决.

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