题目内容
(2013·杭州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－
n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan．
(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
(2)设数列
的前n项和为Tn，证明：n∈N*且n≥3时，Tn＞
．
(3)设数列{cn}满足an(cn－3n)＝(－1)n－1λn(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有cn＋1＞cn．
n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan．(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
(2)设数列
的前n项和为Tn，证明：n∈N*且n≥3时，Tn＞．(3)设数列{cn}满足an(cn－3n)＝(－1)n－1λn(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有cn＋1＞cn．
（1）an＝
(n∈N*)
（2）见解析
（3）存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*有cn＋1＞cn．
(n∈N*)（2）见解析
（3）存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*有cn＋1＞cn．
(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝
，
当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，
所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，
所以2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1．
因为bn＝2nan，所以bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1．
又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，
所以an＝(n∈N*)．
(2)由(1)得cn＝
an＝(n＋1)n，
所以Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)n，①
Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋(n＋1)n＋1．②
由①－②得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1
＝1＋
－(n＋1)n＋1
＝
－
，
所以Tn＝3－
，
Tn－＝3－－
＝
，
于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小，
由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；…
可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1，证明如下：
方法一：①当n＝3时，对上式验算显示成立．
②假设当n＝k时成立，则n＝k＋1(k≥2)时，
2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时猜想也成立．
综合①②可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1．
方法二：当n≥3时，
2n＝(1＋1)n＝
＋
＋
＋…＋
＋
≥＋＋＋＝2n＋2＞2n＋1，
综上所述，当n≥3时，Tn＞．
(3)因为cn＝3n＋
＝3n＋(－1)n－1λ·2n，
所以cn＋1－cn＝[3n＋1＋(－1)nλ·2n＋1]－[3n＋(－1)n－1λ·2n]
＝2·3n－3λ(－1)n－1·2n＞0，
所以(－1)n－1·λ＜
n－1．①
当n＝2k－1(k＝1,2,3，…)时，①式即为λ＜2k－2，②
依题意，②式对k＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，
当n＝2k，k＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－2k－1，③
依题意，③式对k＝1,2,3，…都成立，
所以λ＞－，所以－＜λ＜1，又λ≠0，
所以存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*有cn＋1＞cn．
n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝，当n≥2时，Sn－1＝－an－1－
n－2＋2，所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋
n－1，所以2an＝an－1＋
n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1．因为bn＝2nan，所以bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1．
又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，
所以an＝
(n∈N*)．(2)由(1)得cn＝
an＝(n＋1)n，所以Tn＝2×
＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)n，①Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋(n＋1)n＋1．②由①－②得
Tn＝1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1＝1＋
－(n＋1)n＋1＝
－，所以Tn＝3－
，Tn－
＝3－－＝
，于是确定Tn与
的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小，由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；…
可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1，证明如下：
方法一：①当n＝3时，对上式验算显示成立．
②假设当n＝k时成立，则n＝k＋1(k≥2)时，
2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时猜想也成立．
综合①②可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1．
方法二：当n≥3时，
2n＝(1＋1)n＝
＋＋＋…＋＋≥＋＋＋＝2n＋2＞2n＋1，综上所述，当n≥3时，Tn＞
．(3)因为cn＝3n＋
＝3n＋(－1)n－1λ·2n，所以cn＋1－cn＝[3n＋1＋(－1)nλ·2n＋1]－[3n＋(－1)n－1λ·2n]
＝2·3n－3λ(－1)n－1·2n＞0，
所以(－1)n－1·λ＜
n－1．①当n＝2k－1(k＝1,2,3，…)时，①式即为λ＜
2k－2，②依题意，②式对k＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，
当n＝2k，k＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－
2k－1，③依题意，③式对k＝1,2,3，…都成立，
所以λ＞－
，所以－＜λ＜1，又λ≠0，所以存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*有cn＋1＞cn．
练习册系列答案
相关题目
为
阶“期待数列”：
，②
.
为
阶“期待数列”，求公比
；
阶“期待数列”
的前
项和为
.
）求证：
；
，使
，试问数列
是否为
中，
（
），那么此数列
的前
项和为
，且满足：
，
N*，
.
的通项公式； 
N*，使得
，
，
成等差数列，试判断：对于任意的
N*，且
，
，
，
是否成等差数列，并证明你的结论.
的公差大于零,且
是方程
的两个根；各项均为正数的等比数列
的前
项和为
,且满足
，
满足
，求数列
.
的前
项为
、
、
、
、
，据此可写出数列
的前
项和
，则此数列的通项公式为____________________．