题目内容
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,且离心率为
,
为椭圆上任意一点,当
时,
的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点是椭圆
上异于椭圆顶点的一点,延长直线
,
分别与椭圆交于点
,
,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)设由题
,由此求出
,可得椭圆
的方程;
(2)设,
,
当直线的斜率不存在时,可得
;
当直线的斜率不存在时,同理可得
.
当直线、
的斜率存在时,
,
设直线的方程为
,则由
消去
通过运算可得
,同理可得
,由此得到直线
的斜率为
,
直线
的斜率为
,进而可得
.
试题解析:(1)设由题
,
解得,则
,
椭圆
的方程为
.
(2)设,
,
当直线的斜率不存在时,设
,则
,
直线的方程为
代入
,可得
,
,
,则
,
直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得
.
当直线、
的斜率存在时,
,
设直线的方程为
,则由
消去
可得:
,
又,则
,代入上述方程可得
,
,则
,
设直线的方程为
,同理可得
,
直线
的斜率为
,
直线
的斜率为
,
.
所以,直线与
的斜率之积为定值
,即
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数,
,在
处的切线方程为
.
(1)求,
;
(2)若方程有两个实数根
,
,且
,证明:
.
【答案】(1),
;(2)见解析
【解析】试题分析: 在
处的切线方程为
,求导算出切线方程即可求出结果
构造
,求导,得
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,设
的根为
,证得
,讨论证得
的根为
,
,从而得证结论
解析:(1)由题意,所以
,
又,所以
,
若,则
,与
矛盾,故
,
.
(2)由(Ⅰ)可知,
,
设在(-1,0)处的切线方程为
,
易得, ,令
即,
,
当时,
当时,
设,
,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
故,
,
设的根为
,则
,
又函数单调递减,故
,故
,
设在(0,0)处的切线方程为
,易得
,
令,
,
当时,
,
当时,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
,
,
设的根为
,则
,
又函数单调递增,故
,故
,
又,
.
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