题目内容
【题目】已知函数.
(1)若有极值0,求实数
,并确定该极值为极大值还是极小值;
(2)在(1)的条件下,当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由极值定义得必有解,所以
,且
,根据导数可得函数
先减后增,且最小值为
,解得实数
,最后根据导函数符号变化规律确定该极值为极大值还是极小值;(2)不等式恒成立问题,一般利用变量分离转化为对应函数最值问题:
利用导数研究函数
单调性(递增),再根据罗比特法则求最小值
,即得实数
的取值范围.
试题解析:解:(Ⅰ) .
①若,
,
在
上单调递增,无极值,不符合题意;
②若,令
,得
,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增.
所以,当时,
取到极小值,
,即
.
令,则
,
当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.
又,所以
有唯一解
.
(Ⅱ)据(Ⅰ),,当
时,
恒成立,
即(
)恒成立.
令(
),则
,
令(
),则
,
,
(当且仅当
时取“=”).
①当时,
,
在
单调递增,
所以,即
,
即,所以
在
单调递增,
所以,所以
,
所以,即
恒成立.
②当时,
是增函数,
,
所以,故
在
单调递增,
所以,即
,
所以在
单调递增,所以
,
所以,即
恒成立.
③当时,
是增函数,
,
当时,
,
,
所以,则
,使得
,
当时,
,
在
递减,
此时,即
,
,
所以在
递减,
,不符合题意.
综上所述, 的取值范围是
.
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