题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面
为平行四边形,平面
平面
,
,
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若三角形是边长为
的等边三角形,求三棱锥
外接球的表面积.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)本问证明线线垂直,可以先证线面垂直,再证线线垂直,即证明AB垂直于PC所在平面,过P作于
,根据面面垂直性质定理可知,PO
面
,易知PO
AB,再证明OC
AB即可;(Ⅱ)求三棱锥
的外接球,关键是找到外接球的球心,因为三角形
是边长为
的等边三角形,设E为三角形
的重心,显然EP=EA=EB,再通过证明EC=EB,于是可以得出EA=EB=EC=EP,则可以说明E为外接球的球心,于是可以求外接球半径,再求三棱锥
外接球的表面积.
试题解析: (Ⅰ)作于
……①,连接
,
∵平面平面
,且
,
∴面
.
∵,∴
,∴
,
又∵,∴
……②
又,由①②,得
面
,
又面
,∴
.
(Ⅱ)∵三角形是边长为
的等边三角形,∴
.
∵面
,
,线段
上取点
,∴
,
是外接球的球心,设三棱锥
外接球的半径为
,
,
,
,
,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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