Question

12．已知数列{a_n}的首项为a₁=2，且a_n+1=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n）（n∈N⁺），记S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_n=4•$（\frac{3}{2}）^{n}$-4，a_n=2•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 通过a_n+1=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n）与a_n+2=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n+1）作差、整理可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$，进而可知数列{a_n}是以2为首项、$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n），
∴a_n+2=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂+…+a_n+1），
两式相减得：a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$，
又∵a₂=$\frac{1}{2}$a₁满足上式，
∴数列{a_n}是以2为首项、$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=a₁•q^n-1=2•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
S_n=$\frac{2[1-（\frac{3}{2}）^{n}]}{1-\frac{3}{2}}$=4•$（\frac{3}{2}）^{n}$-4，
故答案为：4•$（\frac{3}{2}）^{n}$-4，2•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．