Question

7．四个小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，依下列条件各有多少种放法．
（1）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
（2）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着；
（3）四个小球不同，允许有空盒；
（4）四个小球相同，允许有空盒．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2步进行分析：1、从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，2、再向其余3个盒子装球，需要先将小球分成2、1、1的三组，再对应3个盒子；由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析：1、从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，2、再向其余3个盒子装球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，每个小球可以放进任意的一个盒子里，即每个小球有4种放法，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，分4种情况讨论：①、4个盒子中没有1个空盒，即每个盒子放1个小球，②、4个盒子中有1个空盒，即4个盒子中有1个放了2个小球，有2个放了1个小球，有1个空盒，③、4个盒子中有2个空盒，再分2种情况讨论：a、4个盒子中有1个放了3个小球，1个盒子放1个小球，其余2个均是空盒，b、4个盒子中有2个放了2个小球，其余2个均是空盒，④、4个盒子中有3个空盒，即4个盒子中有1个放了4个小球，其余3个均是空盒，分别求出每种情况下的小球放法数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
1，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，有$C_4^1$=4种选法，
2，再向其余3个盒子装球，由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，
先将球分为2、1、1的三组，有$\frac{{C}_{4}^{2}×{C}_{2}^{1}×{C}_{1}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$种分法，再将三组对应三个小盒，有A₃³种情况，
因此装球的装法为$\frac{C_4^2×C_2^1×C_1^1}{A_2^2}×A_3^3$=36，所以总方法数为4×36=144种．
（2）根据题意，分2步进行分析：
1，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，有$C_4^1$种选法，
2，再将其余3个盒子装球，
由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，有$C_3^1$种选法，
所以，总方法数为$C_4^1×C_3^1$=12种．
（3）根据题意，每个小球可以放进任意的一个盒子里，即每个小球有4种放法，
则4个不同的小球有4×4×4×4=4⁴=256种不同的放法；
（4）根据题意，分4种情况讨论：
①、4个盒子中没有1个空盒，即每个盒子放1个小球，有1种放法，
②、4个盒子中有1个空盒，即4个盒子中有1个放了2个小球，有2个放了1个小球，有1个空盒，有$C_4^1×C_3^1$=12种放法，
③、4个盒子中有2个空盒，
再分2种情况讨论：如果4个盒子中有1个放了3个小球，1个盒子放1个小球，其余2个均是空盒，有A₄²=12种放法，
如果4个盒子中有2个放了2个小球，其余2个均是空盒，有C₄²=6种放法，
则4个盒子中有2个空盒的放法有12+6=18种，
④、4个盒子中有3个空盒，即4个盒子中有1个放了4个小球，其余3个均是空盒，有$C_4^1$=4种放法，
则四个小球相同，允许有空盒的放法有1+12+18+4=35种．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的综合运用，解题是要特别注意小球相同与不相同的区别．