题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)求导后,分、
及
三种情况讨论,分析导数
在区间
上符号的变化,即可得出函数
的单调区间;
(Ⅱ)原命题等价于,令函数
,利用导数求出函数
的最小值,即可得出实数
的取值范围.
(Ⅰ),定义域为
,且
.
①当时,令
,得
.
若,
;若
,
.
此时,函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
②当时,对任意的
,
,
此时,函数的单调递减区间为
;
③当时,令
,得
.
若,
;若
,
.
此时,函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
综上所述,当时,函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
当时,函数
的单调递减区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(Ⅱ)由即为
,令
,
则,
令,则
,令
,得
.
当时,
,当
时,
.
所以,函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
,
当时,
,当
时,
.
所以,函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
,
所以,函数的最小值为
,
.
因此,实数的取值范围是
.
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