Question

20．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=$\frac{1}{5}$，na_n+1-（n-1）a_n=a_na_n+1（n∈N^*且n≥2）．
（Ⅰ）当n≥2时，求数列{$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$}的通项公式．
（Ⅱ）求证：a₁²+a${{\;}_{2}}^{2}$+…+a${{\;}_{n}}^{2}$$＜\frac{13}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将na_n+1-（n-1）a_n=a_na_n+1两边同时除以n（n-1）a_na_n-1，利用累加法计算即得结论；
（Ⅱ）通过（1）可得a_n=$\frac{1}{4n-3}$，且a_n＞a_n+1，利用放缩法可知（n-1）a_n-（n-2）a_n-1=a_n-1a_n＞${{a}_{n}}^{2}$，进而利用放缩法可知${{a}_{1}}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$+…+${{a}_{n}}^{2}$＜${{a}_{1}}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$+（3a₄-2a₃）+（4a₅-3a₄）…+[（n-1）a_n-（n-2）a_n-1]=1+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{81}$-$\frac{2}{9}$+$\frac{\frac{1}{4}（4n-3）-\frac{1}{4}}{4n-3}$＜1+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{81}$-$\frac{2}{9}$+$\frac{1}{4}$=1+$\frac{649}{8100}$＜1+$\frac{1}{12}$．

解答 （Ⅰ）解：∵na_n+1-（n-1）a_n=a_na_n+1，
∴$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$-$\frac{1}{n{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
对上式累加可得：$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{n-1}$，
即$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{n-1}$-1=4+$\frac{1}{n-1}$（n≥2）；
（Ⅱ）证明：由（1）可得：a_n=$\frac{1}{4n-3}$，则a_n＞a_n+1，
∵na_n+1-（n-1）a_n=a_na_n+1，
∴（n-1）a_n-（n-2）a_n-1=a_n-1a_n＞${{a}_{n}}^{2}$，
∴${{a}_{1}}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$+…+${{a}_{n}}^{2}$
＜${{a}_{1}}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$+（3a₄-2a₃）+（4a₅-3a₄）…+[（n-1）a_n-（n-2）a_n-1]
=${{a}_{1}}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$-2a₃+（n-1）a_n
=1+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{81}$-$\frac{2}{9}$+$\frac{n-1}{4n-3}$
=1+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{81}$-$\frac{2}{9}$+$\frac{\frac{1}{4}（4n-3）-\frac{1}{4}}{4n-3}$
＜1+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{81}$-$\frac{2}{9}$+$\frac{1}{4}$
=1+$\frac{29}{100}$-$\frac{27}{81}$
=1+$\frac{649}{8100}$
＜1+$\frac{1}{12}$
=$\frac{13}{12}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．