题目内容

7.已知命题p:关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q:关于实数x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.命题“p或q”真,“p且q”假,求实数m的取值范围.

分析 根据条件分别求出命题p,q的等价条件,结合复合命题之间的关系进行求解即可.

解答 解:若方程x2+mx+1=0有两不等的负根,
则$\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{△={m}^{2}-4>0}\end{array}\right.$,
解得m>2
即命题p:m>2,…(4分)
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,
则△=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0
解得:1<m<3.即命题q:1<m<3.…(8分)
由题意知,命题p、q应一真一假,
即命题p为真,命题q为假或命题p为假,命题q为真.…(10分)
∴$\left\{\begin{array}{l}{m>2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1<m<3}\end{array}\right.$,
解得:m≥3或1<m≤2.…(14分)

点评 本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用,根据条件求出命题p,q的等价条件是解决本题的关键.

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