题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,己知抛物线
的焦点为
,点
是第一象限内抛物线
上的一点,点
的坐标为
(1)若,求点
的坐标;
(2)若为等腰直角三角形,且
,求点
的坐标;
(3)弦经过点
,过弦
上一点
作直线
的垂线,垂足为点
,求证:“直线
与抛物线相切”的一个充要条件是“
为弦
的中点”.
【答案】(1)(2)
(3)证明见解析
【解析】
(1)因为点是第一象限内抛物线
上的一点,且
,设
,
则 即可求得答案;
(2)设,由
,
,可得:
,
,因为
,可得
,结合已知,即可求得答案;
(3)因为过点
,设
为:
,点
,点
,其
中点
,可得:
,联立直线与抛物线得
,结合已知条件,根据充要条件定义,即可求得答案.
(1)点
是第一象限内抛物线
上的一点,且
设,
则
解得:,即
.
(2)设,由
,
可得:,
①
又等腰,得
点在
轴投影为
、
中点,即:
.
将,
代入①得:
,
(舍去)
点坐标为
.
(3)过点
设为:
,点
,点
,其
中点
,
可得:
联立直线与抛物线得,消掉
可得:
根据韦达定理可得:
设点处抛物线得切线为
联立直线与抛物线得:,消掉
可得:
,可得:
过
处切线方程为
化简得
求切线与直线
得交点
可得
轴,
与
相切时,
为
中点
以上各步骤,均可逆
“直线
与抛物线相切”的一个充要条件是“
为弦
的中点”.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市,名优特产众多,其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明,石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性,分别用表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度,并对它们进行量化:0表示一般,1表示良,2表示优,再用综合指标
的值评定石榴的等级,若
则为一级;若
则为二级;若
则为三级.
近年来,周边各地市也开始发展石榴的种植,为了了解目前石榴在周边地市的种植情况,研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园,得到如下结果:
种植园编号 | A | B | C | D | E | F |
种植园编号 | G | H | I | J | K | L |
(1)若有石榴种植园120个,估计等级为一级的石榴种植园的数量;
(2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个,表示取到三级石榴种植园的数量,求随机变量
的分布列及数学期望.