题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,
,
,
,
,点
为棱
的中点
(1)证明:;
(2)若为棱
上一点,满足
,求锐二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
(1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法证明;
(2)设,由
,求出
,求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量,利用向量法能求出二面角
的余弦值.
证明:(1)∵在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,
AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0),,
,
,
∴;
(2)∵F为棱PC上一点,满足,
∴设,
,
则,
,
∵,
,
解得,
,
设平面ABF的法向量,
则,取
,得
,
平面ABP的一个法向量,
设二面角的平面角为
,
则,
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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