题目内容

已知是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意
① 方程有实数根;② 函数的导数满足
(Ⅰ)判断函数是否是集合中的元素,并说明理由;
(Ⅱ)集合中的元素具有下面的性质:若的定义域为,则对于任意,都存在,使得等式成立.试用这一性质证明:方程有且只有一个实数根;
(Ⅲ)对任意,且,求证:对于定义域中任意的,当,且时,
(Ⅰ)函数是集合中的元素.
(Ⅱ)方程有且只有一个实数根.
(Ⅲ)对于任意符合条件的,总有成立.

试题分析:(Ⅰ)因为①当时,
所以方程有实数根0;

所以,满足条件
由①②,函数是集合中的元素.            5分
(Ⅱ)假设方程存在两个实数根
.
不妨设,根据题意存在
满足.
因为,且,所以.
与已知矛盾.又有实数根,
所以方程有且只有一个实数根.                     10分
(Ⅲ)当时,结论显然成立;                   11分
,不妨设.
因为,且所以为增函数,那么.
又因为,所以函数为减函数,
所以.
所以,即.
因为,所以, (1)
又因为,所以, (2)
(1)(2)得.
所以.
综上,对于任意符合条件的,总有成立.  14分
点评:综合题,本题综合性较强,难度较大。证明方程只有一个实根,可通过构造函数,研究其单调性实现,本解法运用的是反证法。由自变量取值,且,确定函数值的关系,关键是如何实现两者的有机转换。
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