题目内容
(10分)选修4-1:几何证明选讲.
已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,DC是的平分线交AE于点F,交AB于D点.
(1) 求的度数;
(2) 若AB=AC,求AC:BC.
已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,DC是的平分线交AE于点F,交AB于D点.
(1) 求的度数;
(2) 若AB=AC,求AC:BC.
(1);(2)
本题考查的知识点是圆周角定理,三角形外角定理,弦切角定理,相似三角形的证明及性质等,本题中未给出任何角的度数,故建立∠ADF必为特殊角,从而根据图形分析角∠ADF的大小,进而寻出解答思路是解题的关键.
(I)根据AC为圆O的切线,结合弦切角定理,我们易得∠B=∠EAC,结合DC是∠ACB的平分线,根据三角形外角等于不相邻两个内角的和,我们易得∠ADF=∠AFD,进而结合直径所对的圆周角为直角,求出∠ADF的度数;
(II)若AB=AC,结合(1)的结论,我们易得∠ACB=30°,根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为:1:1: 3,易得答案.
解:AC为圆O的切线,∴又知,DC是的平分线,
∴ ∴
即 又因为BE为圆O的直径, ∴
∴
(2),,∴∽∴
又AB="AC," ∴,
∴在Rt⊿ABE中,
(I)根据AC为圆O的切线,结合弦切角定理,我们易得∠B=∠EAC,结合DC是∠ACB的平分线,根据三角形外角等于不相邻两个内角的和,我们易得∠ADF=∠AFD,进而结合直径所对的圆周角为直角,求出∠ADF的度数;
(II)若AB=AC,结合(1)的结论,我们易得∠ACB=30°,根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为:1:1: 3,易得答案.
解:AC为圆O的切线,∴又知,DC是的平分线,
∴ ∴
即 又因为BE为圆O的直径, ∴
∴
(2),,∴∽∴
又AB="AC," ∴,
∴在Rt⊿ABE中,
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