Question

19．设 F₁、F₂分别是双曲线 C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，点 P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．在此双曲线上，且 PF₁⊥PF₂，则双曲线C的离心率e=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由PF₁⊥PF₂可得$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}+c}•\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}-c}$=-1，求出c，将点P代入可得3b²-a²=2a²b²，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：将点P代入可得3b²-a²=2a²b²，再由PF₁⊥PF₂可得$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}+c}•\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}-c}$=-1
∴c²=2，则根据c²=a²+b²可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．