Question

3．对某中学高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．
（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？

	喜欢数学课程	不喜欢数学课程	总计
男
女
总计			40

（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．
参考公式：K²=$\frac{（a+b+c+d）（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
临界值附表：

P（K2≥k0）	0.5	0.4	0.25	0.15	0.1	0.01
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表；根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，即可得出结论．
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为

	喜欢数学课程	不喜欢数学课程	总计
男	15	10	25
女	5	10	15
总计	20	20	40

因为K²=$\frac{40×（15×10-5×10）^{2}}{25×15×20×20}$≈2.667＞2.072，P（K²≥2.072）=0.15
故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{3}{7}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{10}{21}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{2}{21}$，
X的分布列

X	0	1	2
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{2}{21}$

EX=0×$\frac{3}{7}$+1×$\frac{10}{21}$+2×$\frac{2}{21}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查独立性检验的应用，考查分布列和数学期望，本题解题的关键是正确利用观测值公式求出观测值，求概率．