Question

已知的两个顶点的坐标分别，且所在直线的斜率之积为，1）求顶点的轨迹.2）当时，记顶点的轨迹为,过点能否存在一条直线，使与曲线交于两点，且为线段的中点，若存在求直线的方程，若不存在说明理由.（12分）

Answer 1

（1）
（2）不存在

1）由题可知，顶点C的轨迹方程为
（1）当时，轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去两点）
（2）当时，轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆（除去两点）
（3）当时，轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去两点）
（4）当时，轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去两点）
2）不存在