题目内容

【题目】已知函数，.

(I)若恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅱ)当取(I)中的最小值时，求证: .

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）根据，构造函数，求出导函数.根据导函数的情况分类讨论 在不同范围时满足不等式的解，求出 的取值范围。

（2）先求出(I)中的最小值时的值为1；所以.

再构造函数，利用导数及其单调性求出 ，从而得证。

详解：(I)令，则.

①若，，

单调递减， ，

则成立.

②若，存在，

使得，

当，，单调递增，，

不合题意.

③若，结合与的图象可知显然不合题意.

综上可知， 的取值范围是

(Ⅱ)证明当取(I)中的最小值为1时，

.

设，

则.

令，

则，

所以在上单调递减，此时 ，

即.

所以在上单调递减.

所以

则.

所以，当取(Ⅰ)中的最小值时， .

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