题目内容
【题目】(本小题共分)
若或,则称为和的一个位排列,对于,将排列记为,将排列记为,依此类推,直至,对于排列和,它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数,叫做和的相关值,记作,例如,则,,若,则称为最佳排列.
(Ⅰ)写出所有的最佳排列.
(Ⅱ)证明:不存在最佳排列.
(Ⅲ)若某个(是正整数)为最佳排列,求排列中的个数.
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据最佳排列的定义可得,最佳排列为、、、、、;(Ⅱ)由,可得,,,,之中有个,个,而经过奇数次数码改变不能回到自身,所以不存在,使得;(Ⅲ)与每个人有个对应位置数码相同,有个对应位置数码不同,设, ,中有个,个,则,可得,解得或,从而得出结论.
试题解析:(Ⅰ)最佳排列为、、、、、.
(Ⅱ)设,则,
因为,
所以,,,,之中有个,个,
按的顺序研究数码变化,
有上述分析可知由次数码不发生改变,有次数码发生了改变,
但是经过奇数次数码改变不能回到自身,
所以不存在,
使得,
从而不存在最佳排列.
(Ⅲ)由或,,,,
得,,,
,
,
以上各式求和得,,
另一方面,还可以这样求和:设, ,中有个,个,
则,
所以,
得或,
所以排列中的个数是或个.
【题目】某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
质量与尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.367 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
(I)现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记为取到优等品的件数,试求随机变量的分布列和期望;
(II)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(i)根据所给统计量,求关于的回归方程;
(ii)已知优等品的收益(单位:千元)与的关系为,则当优等品的尺寸为何值时,收益的预报值最大? (精确到0.1)
附:对于样本, 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
【题目】某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题,答题情况如下表:
答对题目数 | 8 | 9 | ||
女 | 2 | 13 | 12 | 8 |
男 | 3 | 37 | 16 | 9 |
(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率;
(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.