Question

6．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长为2$\sqrt{2}$，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆环C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为1，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，再由已知得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接求出△OAB面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，斜率存在时利用弦长公式求出|AB|$＜\sqrt{2}$，可得△OAB面积小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
∵a=$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=1，则b²=a²-c²=1，
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$，则△OAB面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由坐标原点O到直线l的距离为1，得$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，即m²=k²+1．
∵|AB|²=$（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$=$（1+{k}^{2}）[（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}]$
=$2-\frac{2}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}$＜2，
∴|AB|$＜\sqrt{2}$．
则△OAB面积小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆相交问题，转化为方程联立得到根与系数的关系是解题的关键，考查弦长问题、三角形的面积、点到直线的距离公式、分类讨论的思想方法的方法等，是中档题．