题目内容
11．判断函数y=$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$的单调性．分析 可根据单调性的定义判断：先求出定义域为[1，3]，从而在定义域内任意设x1＜x2，然后作差，分子有理化，提取公因式x1-x2，从而得到${y}_{1}-{y}_{2}=\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）[4-（{x}_{1}+{x}_{2}）]}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$，从而可以判断x1，x2∈[1，2），和x1，x2∈（2，3]时的y1，y2的大小关系，从而判断出该函数的单调性．
解答 解：解4x-x2-3≥0得，1≤x≤3；
设x1，x2∈[1，3]，且x1＜x2，则：
${y}_{1}-{y}_{2}=\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}-\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}$=$\frac{4{x}_{1}-4{x}_{2}-（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）[4-（{x}_{1}+{x}_{2}）]}{\sqrt{4{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-3}•\sqrt{4{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}-3}}$；
∵x1＜x2；
∴x1-x2＜0；
∴①若x1，x2∈[1，2），则4-（x1+x2）＞0；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在[1，2]上单调递增；
②若x1，x2∈（2，3]，则4-（x1+x2）＜0；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（2，3]上单调递减．
点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性的定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x1）与f（x2），带根号的情况一般需进行分子有理化，并且一般需提取公因式x1-x2．
