题目内容
1．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB=1，∠DAB=60°，AA1=$\sqrt{3}$，BD中点为O，A1O⊥平面ABCD，E、F分别为A1D1，AB的中点．（1）求证：EF∥平面BB1D1D1；
（2）求三棱锥A1-BDC1的体积．
分析 （1）取A1B1的中点G，由线面平行证面面平行，再由面面平行得线面平行；
（2）利用等积法把三棱锥A1-BDC1的体积转化为三棱锥C1-A1BD的体积求解．
解答 （1）证明：取A1B1的中点G，连接EG、GF，则EG∥D1B1，∴EG∥平面BB1D1D，
GF∥BB1，∴GF∥平面BB1D1D，
又EG∩GF=G，∴平面EGF∥平面BB1D1D1，
则EF∥平面BB1D1D1；
（2）解：∵AB=1，∠DAB=60°，∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△A1OA中，又AA1=$\sqrt{3}$，∴∠A1AO=60°，
则A1C1⊥平面A1BD，∴A1C1为三棱锥C1-A1BD的高，等于AC=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{{A}_{1}-BD{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-{A}_{1}BD}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}BD•{A}_{1}O{•A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{12}$．
点评 本题给出底面为菱形的四棱柱，证明直线与平面平行并探求了平面与平面成直角的问题，着重考查了线面平行的判定，以及利用等积法转化求棱锥的体积等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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